По мнению ряда авторов, Фреге трактовал функциональные и понятийные выражения как имена функций и понятий и поэтому к ним также применимо различение смысла и значения, однако этот вопрос спорный и мы не будем его касаться.↩︎
По мнению Рассела, представление о том, что суждение может иметь лишь субъектно-предикатную структуру, приводит к «плохой метафизике», ибо оно вынуждает философов строить онтологии или схоластического типа, в которых имеются лишь субстанции и их атрибуты, или абсолютно-идеалистического типа, в которых все суждения, даже суждения об отношениях, истолковываются как замаскированные предикации к «реальности, взятой как целое».↩︎
Строго говоря, у Рассела словарь исходных символов включает помимо логических (пропозициональных связок, кванторов) и технических символов (1) термы, которые подразделяются на переменные и имена; (2) и-местные (где n ≥ 1) предикаты, в которые можно подставить n термов и (3) формулы, представляющие собой соединение и-местного предиката с n термами. Такие формулы Рассел называет атомарными, а более сложные формулы образуются из них с помощью пропозициональных связок и кванторов, которые связывают в них свободные переменные. Предложение он определяет как формулу, не содержащую свободных переменных. Формулы, которые не являются предложениями («открытые формулы»), выражают пропозициональные функции.↩︎
Согласно этому парадоксу, если мы рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами, и попытаемся ответить на вопрос, содержит ли это множество себя в качестве элемента, мы получим противоречие. Поскольку Рассел использовал теорию множеств для определения натуральных чисел и всех фундаментальных понятий арифметики, этот парадокс разрушал основания всей логицистской программы. В известном письме от 16 июня 1902 г. Рассел сообщил об этом парадоксе Фреге, для которого это означало крушение всех его грандиозных замыслов. Рассел же, сочтя источником этого и ряда других парадоксов «самоприменимость» некоторых понятий, предложил для их преодоления «теорию типов», в которой осуществляется иерархизация переменных по различным типам (выделяются, к примеру, переменные по индивидам, предикатам, множествам и т. п.) и устанавливаются ограничения на допустимые подстановки для переменных разных типов.↩︎