Рис. 14. Балансовая матрица, повторяющая три j-ых среза трёхмерной матрицы «обменов» рисунка 13, с обозначениями неизвестных переменных и переменных равных нулю
3 × (x111 +0211 +0311) = 2 × (0121 + x221 +0321), (16) *10
2 × (x111 +0211 +0311) = 4 × (0131 +0231 + x331), (17) *11
4 × (0121 + x221 +0321) = 3 × (0131 +0231 + x331), (18) *12
3 × (x112 +0212 +0312) = 2 × (0122 + x222 +0322), (21) *13
2 × (x112 +0212 +0312) = 4 × (0132 +0232 + x332), (22) *14
4 × (0122 + x222 +0322) = 3 × (0132 +0232 + x332), (23) *15
3 × (x113 +0213 +0313) = 2 × (0123 + x223 +0323), (26) *16
2 × (x113 +0213 +0313) = 4 × (0133 +0233 + x333), (27) *17
4 × (0123 + x223 +0323) = 3 × (0133 +0233 + x333), (28) *18
(x111 +0211 +0311) = (x112 +0212 +0312), (32) *19
(x111 +0211 +0311) = (x113 +0213 +0313), (33) *20
(x112 +0212 +0312) = (x113 +0213 +0313), (34) *21
(0121 + x221 +0321) = (0122 + x222 +0322), (35) *22
(0121 + x221 +0321) = (0123 + x223 +0323), (36) *23
(0122 + x222 +0322) = (0123 + x223 +0323), (37) *24
(0131 +0231 + x331) = (0132 +0232 + x332), (38) *25
(0131 +0231 + x331) = (0133 +0233 + x333), (39) *26
(0132 +0232 + x332) = (0133 +0233 + x333). (40) *27
В результате получаем, сохраняя (повторяя) при этом прежние номера соответствующих уравнений:
f11 = x111 + x112 + x113 = 6000, (4) *1
f22 = x221 + x222 + x223 = 9000, (8) *5
f33 = x331 + x332 + x333 = 12000, (12) *9
3×x111 = 2×x221, (16) *10
2×x111 = 4×x331, (17) *11
4× x221 = 3×x331, (18) *12
3×x112 = 2×x222, (21) *13
2×x112 = 4×x332, (22) *14
4×x222 = 3×x332, (23) *15
3×x113 = 2×x223, (26) *16
2×x113 = 4×x333, (27) *17
4×x223 = 3×x333, (28) *18
x111 = x112, (32) *19
x111 = x113, (33) *20
x112 = x113, (34) *21
x221 = x222, (35) *22
x221 = x223, (36) *23
x222 = x223, (37) *24
x331 = x332, (38) *25
x331 = x333, (39) *26
x332 = x333. (40) *27
Таким образом сократилось не только число уравнений, но и число неизвестных ограничилось девятью переменными. Эти девять переменных полностью представлены в трёх уравнениях (4) *1, (8) *5 и (12) *9. При этом остальные переменные могут быть выражены через эти девять, что видно по равенствам от (16) *10 до (40) *27. В результате и число уравнений, необходимых для получения решения стало равным девяти. Приведём ниже один из вариантов этих «необходимых» уравнений и численную оценку самих переменных.
Рассмотрим равенства (4) *1, (32) *19 и (33) *20:
f11 = x111 + x112 + x113 = 6000, (4) *1
x111 = x112, (32) *19
x111 = x113. (33) *20
Получаем очевидное решение для следующих трёх неизвестных переменных:
x111 = 6000/3 = 2000; x112 = 2000; x113 = 2000.
Далее, рассмотрим равенства (8) *5, (35) *22 и (37) *24:
f22 = x221 + x222 + x223 = 9000, (8) *5
x221 = x222, (35) *22
x222 = x223, (37) *24
Получаем очевидное решение для других трёх неизвестных переменных:
x222 = 9000/3 = 3000; x221 = 3000; x223 = 3000.
Наконец, рассмотрим равенства (12) *9, (39) *26 и (40) *27:
f33 = x331 + x332 + x333 = 12000, (12) *9
x331 = x333, (39) *26
x332 = x333. (40) *27
Получаем очевидное решение для последних трёх неизвестных переменных:
x333 = 12000/3 = 4000; x331 = 4000; x332 = 4000
Таким образом для получения искомого решения оказалось достаточно лишь девяти вышеприведённых уравнений, а именно: (4) *1, (32) *19, (33) *20, (8) *5, (35) *22, (37) *24, (12) *9, (39) *26 и (40) *27. Как ранее было показано прочие переменные этой системы линейных уравнений в данном численном примере равны нулю.
Матрица с численными решениями (численные значения неизвестных переменных в тысячах штук) приведена на рисунке 15. В целях наглядности численные значения неизвестных переменных дополнены (графически) тройными индексами самих переменных, то есть индексами ячеек, элементами которых являются эти переменные.