Рис. 12. Матрица производства продуктов агентами-производителями
Соответственно, на рисунке 13 представлена трёхмерная балансовая матрица, элементы которой количественно описывают один цикл кругооборота «обмена (обращения)». Элементами этой балансовой матрицы являются неизвестные переменные xijk, величину которых нам необходимо и определить. Это позволит выявить меновые отношения, которые в совокупности отражают равновесное состояние некого условного общества, ранее взятого в качестве иллюстративного примера (см. рис.1 и рис.12).
Для удобства восприятия матрица изображена в виде трёх вертикальных фронтальных срезов. Каждый из срезов отображает частную плоскостную двухмерную матрицу «обмена» по одному из j-ых видов продуктов между i-ыми и k-ыми агентами воспроизводственного процесса действительной жизни этого общества.
Рис. 13. Трёхмерная балансовая матрица «производство – потребление»
Таким образом, для полного количественного описания одного цикла кругооборота «обмена (обращения)» необходимо определить численные значения всех 27 неизвестных переменных xijk. В принятых обозначениях количественные (численные) исходные данные для этой задачи даны в матричной таблице рисунка 12.
Обозначим общий суммарный объём производства j—го продукта всеми агентами производства через Fj. Тогда, с учётом данных матрицы рисунка 12, отражающих численные значения заданного количества производства продуктов j-го вида i-ым агентом-производителем как величину fij, получим следующие три равенства (уравнения):
Fj=1 = f11 + f21 + f31 = 6000 +0 +0 = 6000; (1)
Fj=2 = f12 + f22 + f32 = 0 +9000 +0 = 9000; (2)
Fj=3 = f13 + f23 + f33 = 0 +0 +12000 = 12000. (3)
Если это выразить в неизвестных переменных xijk, имея ввиду, что объём производства fij каждого j—го продукта i-ым агентом, равен сумме объёмов, получаемых всеми агентами (и самим производителем) xijk, то получим следующие уравнения.
Для продукта j=1:
f11 = x111 + x112 + x113 = 6000, (4) *
f21 = x211 + x212 + x213 = 0, (5) *
f31 = x311 + x312 + x313 = 0. (6) *
Для продукта j=2:
f12 = x121 + x122 + x123 = 9000, (7) *
f22 = x221 + x222 + x223 = 0, (8) *
f32 = x321 + x322 + x323 = 0. (9) *
Для продукта j=3:
f13 = x131 + x132 + x133 = 12000, (10) *
f23 = x231 + x232 + x233 = 0, (11) *
f33 = x331 + x332 + x333 = 0. (12) *
Далее, исчислим структуру производства как отношение (пропорция):
Fj=1: Fj=1: Fj=1 = 6000: 9000: 12000 = 2: 3: 4. (13)
Напомним, что по условиям задачи структура потребления равна структуре производства в целом для общества и по каждому агенту-потребителю.
Следовательно, для агента-потребителя с индексом k = 1 имеем:
Fj=1: Fj=2: Fj=3 = (x111 + x211 + x311): (x121 + x221 + x321): (x131 + x231 + x331). (14)
Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):
(x111 + x211 + x311): (x121 + x221 + x321): (x131 + x231 + x331) = 2: 3: 4. (15)
Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (15) линейные уравнения имеют вид:
(x111 + x211 + x311) / (x121 + x221 + x321) = 2/3, или иначе
3 × (x111 + x211 + x311) = 2 × (x121 + x221 + x321); (16) *
(x111 + x211 + x311) / (x131 + x231 + x331) = 2/4, или иначе
2 × (x111 + x211 + x311) = 4 × (x131 + x231 + x331); (17) *
(x121 + x221 + x321) / (x131 + x231 + x331) = 3/4, или иначе
4 × (x121 + x221 + x321) = 3 × (x131 + x231 + x331). (18) *
Аналогично, для агента-потребителя с индексом k = 2 имеем:
Fj=1: Fj=2: Fj=3 = (x112 + x212 + x312): (x122 + x222 + x322): (x132 + x232 + x332). (19)
Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):
(x112 + x212 + x312): (x122 + x222 + x322): (x132 + x232 + x332) = 2: 3: 4. (20)
Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (20) линейные уравнения имеют вид:
(x112 + x212 + x312) / (x122 + x222 + x322) = 2/3, или иначе
3 × (x112 + x212 + x312) = 2 × (x122 + x222 + x322); (21) *
(x112 + x212 + x312) / (x132 + x232 + x332) = 2/4, или иначе
2 × (x112 + x212 + x312) = 4 × (x132 + x232 + x332); (22) *
(x122 + x222 + x322) / (x132 + x232 + x332) = 3/4, или иначе
4 × (x122 + x222 + x322) = 3 × (x132 + x232 + x332). (23) *
Аналогично, для агента-потребителя с индексом k = 3 имеем:
Fj=1: Fj=2: Fj=3 = (x113 + x213 + x313): (x123 + x223 + x323): (x133 + x233 + x333). (24)
Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):
(x113 + x213 + x313): (x123 + x223 + x323): (x133 + x233 + x333) = 2: 3: 4. (25)
Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (25) линейные уравнения имеют вид:
(x113 + x213 + x313) / (x123 + x223 + x323) = 2/3, или иначе
3 × (x113 + x213 + x313) = 2 × (x123 + x223 + x323); (26) *
(x113 + x213 + x313) / (x133 + x233 + x333) = 2/4, или иначе
2 × (x113 + x213 + x313) = 4 × (x133 + x233 + x333); (27) *
(x123 + x223 + x323) / (x133 + x233 + x333) = 3/4, или иначе
4 × (x123 + x223 + x323) = 3 × (x133 + x233 + x333). (28) *
Наконец, по условиям задачи, имеем одинаковые объёмы потребления каждым i-ым агентом и по каждому j-ому продукту:
(x111 + x211 + x311) = (x112 + x212 + x312) = (x113 + x213 + x313), (29)
(x121 + x221 + x321) = (x122 + x222 + x322) = (x123 + x223 + x323), (30)
(x131 + x231 + x331) = (x132 + x232 + x332) = (x133 + x233 + x333). (31)
Эти три тройных равенства позволяют получить ещё девять линейных уравнения:
– из первого тройного равенства (29) получим по продукту j = 1 следующие три линейных уравнения:
(x111 + x211 + x311) = (x112 + x212 + x312), (32) *
(x111 + x211 + x311) = (x113 + x213 + x313), (33) *
(x112 + x212 + x312) = (x113 + x213 + x313); (34) *
– из второго тройного равенства (30) получим по продукту j = 2 следующие три линейных уравнения:
(x121 + x221 + x321) = (x122 + x222 + x322), (35) *
(x121 + x221 + x321) = (x123 + x223 + x323), (36) *
(x122 + x222 + x322) = (x123 + x223 + x323); (37) *
– из третьего тройного равенства (31) получим по продукту j = 3 следующие три линейных уравнения:
(x131 + x231 + x331) = (x132 + x232 + x332), (38) *
(x131 + x231 + x331) = (x133 + x233 + x333), (39) *
(x132 + x232 + x332) = (x133 + x233 + x333). (40) *
Известно, что для решения этой системы (линейных) уравнений в задаче с 27 неизвестными переменными необходимо 27 линейных уравнений. Напомним, что решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных (и определитель ее основной матрицы не равен нулю), то такие системы называются элементарными и имеют одно единственное решение.
Выпишем из уравнений (4) – (40) систему линейных уравнений, порядковые номера которых отмечены звёздочкой – (…) *. Общее число этих уравнений равно 27 (верхний индекс рядом со звёздочкой есть порядковый номер этого линейного уравнения в линейной системе уравнений данной задачи):
f11 = x111 + x112 + x113 = 6000, (4) *1
f21 = x211 + x212 + x213 = 0, (5) *2
f31 = x311 + x312 + x313 = 0, (6) *3
f12 = x121 + x122 + x123 = 9000, (7) *4
f22 = x221 + x222 + x223 = 0, (8) *5
f32 = x321 + x322 + x323 = 0, (9) *6
f13 = x131 + x132 + x133 = 12000, (10) *7
f23 = x231 + x232 + x233 = 0, (11) *8
f33 = x331 + x332 + x333 = 0, (12) *9
3× (x111 + x211 + x311) = 2× (x121 + x221 + x321), (16) *10
2 × (x111 + x211 + x311) = 4 × (x131 + x231 + x331), (17) *11
4 × (x121 + x221 + x321) = 3 × (x131 + x231 + x331), (18) *12
3 × (x112 + x212 + x312) = 2 × (x122 + x222 + x322), (21) *13
2 × (x112 + x212 + x312) = 4 × (x132 + x232 + x332), (22) *14
4 × (x122 + x222 + x322) = 3 × (x132 + x232 + x332), (23) *15
3 × (x113 + x213 + x313) = 2 × (x123 + x223 + x323), (26) *16
2 × (x113 + x213 + x313) = 4 × (x133 + x233 + x333), (27) *17
4 × (x123 + x223 + x323) = 3 × (x133 + x233 + x333), (28) *18
(x111 + x211 + x311) = (x112 + x212 + x312), (32) *19
(x111 + x211 + x311) = (x113 + x213 + x313), (33) *20
(x112 + x212 + x312) = (x113 + x213 + x313), (34) *21
(x121 + x221 + x321) = (x122 + x222 + x322), (35) *22
(x121 + x221 + x321) = (x123 + x223 + x323), (36) *23
(x122 + x222 + x322) = (x123 + x223 + x323), (37) *24
(x131 + x231 + x331) = (x132 + x232 + x332), (38) *25
(x131 + x231 + x331) = (x133 + x233 + x333), (39) *26
(x132 + x232 + x332) = (x133 + x233 + x333). (40) *27
Аналитическое решение этой линейной системы уравнений позволяет получить следующие значения неизвестных переменных xijk:
x111 = 2000, x112 = 2000, x113 = 2000,
x211 = 0, x212 = 0, x213 = 0, x311 = 0, x312 = 0, x313 = 0;
x221 = 3000, x222 = 3000, x223 = 3000,
x121 = 0, x122 = 0, x123 = 0, x321 = 0, x322 = 0, x323 = 0;
x331 = 4000, x332 = 4000, x333 = 4000,
x131 = 0, x132 = 0, x133 = 0, x231 = 0, x232 = 0, x233 = 0.
Следует при этом заметить, в отношении самой процедуры решения, что конкретные условия данной задачи позволяют значительно сократить число уравнений в системе и упростить его. Это сокращение по существу и было сделано в начале изложения упрощённого табличного решения с «заменой индексов».
Так, например, содержащееся в настоящей задаче условие производства j-го продукта только одним i-ым агентом производства обращает целый ряд неизвестных переменных xijk в ноль и сокращает необходимое для решения системы число линейных уравнений с 27 до 9. При этом исходное равенство переменных нулю достаточно просто и наглядно объясняется указанными специфическими, конкретными, условиями задачи.
В частности, на схеме рисунка 14, повторяющей три j-ых среза трёхмерной балансовой матрицы «обменов» рисунка 13, обозначения неизвестных переменных, равных нулю по указанным специфическим условиям задачи, заменены их значением «0». Так, например, так как первый агент-производитель с индексом i = 1 производит только продукт с индексом j=1, то переменные x131, x132, x133, x121, x122, x123 равны нулю (= 0). Очевидно, что этот агент-производитель не производит продукты с индексами j=2 и j=3, а поэтому и предложить их «к обмену» не может. Аналогично обстоит дело и с агентами-производителями i=2 и i=3, производящими только, соответственно, продукты j=2 и j=3.
Соответствующая система уравнений примет вид:
f11 = x111 + x112 + x113 = 6000, (4) *1
f21 = 0211 +0212 +0213 = 0, (5) *2
f31 = 0311 +0312 +0313 = 0, (6) *3
f12 = 0121 +0122 +0123 = 0, (7) *4
f22 = x221 + x222 + x223 = 9000, (8) *5
f32 = 0321 +0322 +0323 = 0, (9) *6
f13 = 0131 +0132 +0133 = 0, (10) *7
f23 = 0231 +0232 +0233 = 0, (11) *8
f33 = x331 + x332 + x333 = 12000, (12) *9