Рис. 31.
По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:
y1 (x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;
y2 (x, t) = —A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева направо.
В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y1 в результате отражения порождает волну y2. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции, который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами y1 и y2 в отдельности. Следовательно,
Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.
Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = L), необходимо чтобы kL = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина L струны равняется целому числу длин полуволн: l = n (λn/2) λn = 2l/n (n = 1,2,3…)
Набору значений λn длин волн соответствует набор возможных частот fn:
fn = v/ λn
где v = √T/μ— скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот fN и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f1 называется основной частотой, все остальные (f2, f3, …) называются гармониками. На рис. 32 изображена нормальная мода для n = 2, а на рис. 33 показаны гармоники.
В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота
f0 = ω0/2π
струна обладает бесконечным числом собственных (резонансных) частот fn. В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.
Добротность – параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.
Добротность Q колебательной системы равна отношению энергии, запасенной в системе к убыли этой энергии за один период колебания.
Q = 2π∙W (t) /Δ W (t+T) (20)
Q = ω0W/Pd = 2πf0W/Pd (21)
где ω0 – резонансная круговая частота колебаний,
f0 – резонансная частота колебаний,
W – энергия, запасенная в колебательной системе,
Pd – рассеиваемая мощность.
Стоячие волны показаны на рис. 32. По существу, это графическое отображение принципа резонансной кратности