Египетская система исчисления
Рис. 43
Математическая формула длины окружности через длину диаметра выглядит так:
Cd = 3d + 1/7d = 22/7d = 3,142857d
Считается, что число 22/7 вывел Архимед в III веке до н. э., и оно так и называлось – числом Архимеда и впоследствии было обозначено греческой буквой π.
На самом деле Архимед в своей работе «Измерение круга» только определил, в каких числовых пределах находится π:
3 × 10/71 < 3,140996 < π < 3,1438265 <3 × 1/7
Как видим, это число вывел Имхотеп в III тысячелетии до н. э., т. е. за 2 тыс. лет до Архимеда, когда греков не было, а по Пелопонесскому полуострову бродили племена охотников и собирателей неизвестного этноса.
Знал Имхотеп и теорему Пифагора, так как использовал тройки целых чисел, связывающих стороны прямоугольного треугольника.
Чтобы получить треугольник с прямым углом и катетом необходимой длины, египетский математик делил этот катет на 3 части.
Далее эту часть просто умножал на 4 и 5 и находил длину большого катета и гипотенузы с противолежащим ей прямым углом: а/3; b = 4а/3; с = 5а/3. У такого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы был равен сумме квадратов катетов: с2 = а2 + b2.
Чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным большим катетом, его четвертую часть умножили на 3 и 5, вычисляя длину меньшего катета и гипотенузы: b/4; 3b/4; 5b/4.
Чтобы получить треугольный прямоугольник с заданной гипотенузой, его пятую часть умножили на 3 и 4, вычисляя длину обоих катетов: с/5; а = 3с/5; b = 4с/5.
Для нахождения и построения прямоугольного треугольника с заданной стороной брались не только целочисленные «пифагоровы тройки» 3, 4, 5, но и все остальные.
Этим «методом Имхотепа» древние египтяне стали пользоваться за 2 тысячи лет до Пифагора.
Как древнеегипетские математики вычисляли площадь круга, приводится в так называемом папирусе Ринда. Там писец Яхмос показывает, как найти площадь круга диаметром 8 хетов. Хет равняется 100 локтям, а круг, о котором говорит египетский математик, имел бы площадь 16 гектаров.
Решение: возьми «1/9» от диаметра, остаток «8» умножь на «8», получи «64».
Алгебраическая формула этого метода: S = (d–1/9 d)2 = 63,8720
Современная формула дает: S = (πd2/4) = 3,14159/4 × 92 = 63,6174
Погрешность в 0,6 процента вполне удовлетворительна для землемера.
«Метод Имхотепа» дает возможность легко решить проблему «квадратуры круга», т. е. с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий по площади кругу с приемлемой точностью для того времени.
Решение: возьмем круг диаметром 9 локтей. На основании в 8 локтей строим квадрат (рис. 44).