В отличие от этой чистой арифметики, прикладная арифметика обращается к эмпирическим явлениям, причем делает это двумя способами. Во-первых, подсчитывая их, то есть соизмеряя их количество со шкалой, присутствующей в числовом ряду; при этом получается («это семь книг») синтетически-апостериорное суждение, претендующее лишь на фактическую обоснованность. И, во-вторых, применяя к опыту не только арифметические понятия, но и арифметические пропозиции, заключая, например, что поскольку 7 +5 = 12, то 7 +5 книг (или что-то еще) также должны быть = 12 книг. Здесь сознание аподиктичности вновь проявляется с полной очевидностью, но опять-таки мы имеем дело лишь с различными способами выражения идентичного факта в одной и той же шкале. Это одни и те же книги, которые мы можем считать как 7 +5 и как 12, то есть которые мы можем суммировать попарно с числовыми звуками один… семь, один… пять и с числовыми звуками один… двенадцать; но сосуществование этих двух возможностей аналитически вытекает из соответствующей чисто арифметической пропозиции и, таким образом, имеет то же доказательство, что и последняя. Это, как мне кажется, в основном решает проблему арифметической определенности; только расширение числового ряда путем введения отрицательных, дробных, иррациональных и мнимых чисел требует краткого комментария. Здесь, после признания неудовлетворительного характера логистического объяснения (стр. 9), будет трудно избежать отвлечений через геометрию; однако эти отвлечения можно критиковать только по эстетическим, но не по логическим соображениям. Ведь если уравнение действительно в чисто арифметическом смысле, то оно действительно, согласно сказанному выше, для любого объекта, а значит, и для отрезков абсцисс; но если оно действительно для них, то все, что можно вывести из него путем геометрических рассуждений, также действительно; и в той мере, в какой это опять-таки происходит в виде уравнений, приравнивающих друг к другу две числовые величины, оно может снова претендовать на чисто арифметическую действительность. Поэтому, при условии более тщательного изучения этих геометрических доказательств, арифметика должна быть признана аналитической наукой.