Ian Mueller (Зарубежный специалист): Мюллер, историк античной математики, подтверждает правоту Аристотеля. Греческая геометрия времен Платона и Аристотеля уже была высокоразвитой дедуктивной наукой, не зависящей от арифметики (которая, кстати, была слабее развита). Попытки редуцировать геометрию к арифметике были спекулятивными и не влияли на реальную математическую практику. Аристотель, таким образом, защищает автономию геометрии как науки о непрерывных величинах.
Работа: «Aristotle on Geometrical Objects» // Archiv für Geschichte der Philosophie 52, 1970, pp. 156-171.
Суть комментария: Аристотель отстаивает независимость различных математических дисциплин и критикует спекулятивные попытки их сведения друг к другу.
7. Апории дуализма: идеальное vs математическое число
Текст Аристотеля (Met. 1091a 30 – 1091b 5):
«Если же существуют два вида числа – идеальное и математическое, – то должны быть и два их начала. Но если начала одни и те же, каким образом числа получаются разными? Если же начала разные, то как они соотносятся? И если единица есть нечто общее для обоих, то мы снова возвращаемся к вопросу: чем же тогда они отличаются?»
Комментарии:
Д.В. Бугай (Россия): Бугай интерпретирует этот пассаж как демонстрацию логического тупика, в который заходят те, кто пытается совместить теорию идей с автономией математики. Введение двух типов чисел – это ad hoc гипотеза, призванная спасти теорию от критики, но она только умножает сущности и проблемы. Аристотель показывает, что эта гипотеза либо ведет к тавтологии (числа одинаковы, если начала одинаковы), либо к полному разрыву между мирами (если начала разные), либо к неразрешимой проблеме общего и частного (если единица общая).
Работа: «Критика Аристотелем платоновского учения о принципах» // ΣΧΟΛΗ, 2008. 2(2). С. 288-290.
Суть комментария: Аристотель применяет метод диэрезиса (различения) и показывает, что все возможные варианты дуалистической теории числа ведут к противоречиям.