Рис. 10. Сумма чисел на противоположных углах кубика равна 9.
Рис. 11. Сумма чисел на противоположных сторонах кубика неизменно равна 7 (вид в объёме).
Рис. 12. Сумма чисел на противоположных сторонах кубика неизменно равна 7 (вид на плоскости).
При делении на семь каждого из восьми других одноразрядных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) получатся периодические дроби, выражающие цикл с последовательностью из шести чисел: 142857.
1/7 = 0,(142857)
2/7 = 0,(285714)
3/7 = 0,(428571)
4/7 = 0,(571428)
5/7 = 0,(714285)
6/7 = 0,(857142)
8/7 = 1,(142857)
9/7 = 1,(285714)
(142857 × 7 = 999999, 0,142857 × 7 = 0,999999 ≈ 1)
Геометрически этот цикл можно представить в виде окружности. Расположив на ней шесть равноудалённых точек, соединённых отрезками, и пронумеровав их в соответствии с циклической дробью, мы получим правильный шестиугольник, сумма чисел на противоположных вершинах которого всегда равна 9.
142857 = 1+8=9; 4+5=9; 2+7=9.
Этот шестиугольник представляет собой проекцию трёхмерного куба на плоскость, где одна из его четырёх больших диагоналей перпендикулярна плоскости проекции. В проекцию шестиугольника включены три большие диагонали: 1-8, 2-7 и 4-5. Четвертая большая диагональ куба проецируется в центр шестиугольника как точка симметрии.
Таким образом, в этой точке сходятся обе вершины куба и его центр симметрии, обозначенные числами 3, 6 и 9, которых нет в самой циклической дроби.
