Семеричная система счисления
В переводе [27] содержится отсутствующий в [19] текст:
«4:5 Семь двойных: … Семь, а не шесть, семь, а не восемь, наблюдай их и исследуй их, и установи Слово на свойственное ему [место], и возврати Формирующего на Его основание».
С учетом ранее рассмотренного описания цифр алфавита десятичной системы счисления, по аналогии, этот фрагмент можно трактовать как указание на семеричную систему счисления с алфавитом 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Семиотика счета
В книге (цит. по:[37]) рассмотрена процедура счета предметов в двух системах.
В качестве иллюстрации взята обычная сантиметровой линейка, по верху которой (ряд «а») зарубки обозначены в ретроспективной системе, она же − обычная современная система с нулем, а по низу (ряд «б») − те же зарубки обозначены в проспективной системе, она же − натуральный ряд чисел (без нуля):
Десятый отрезок по своему значению в счетном ряду вполне однозначен – это именно десятый член последовательности, последний член первого десятка. Однако, если попытаться свести его к точке, «зарубке» (обозначить через «зарубку»), то его отношение к точкам будет двусмысленно. Точка, соответствующая его левому концу, символизирует конец первого десятка, а точка, соответствующая его правому концу, − начало второго десятка. До некоторой степени двусмыслен и знак числа «десять», взятый в тех же двух отношениях.
Теперь мы можем семиотически понять следующий факт: «исчезновение» (невыраженность «значения») последней точки каждого разряда во всех современных системах счисления.
Знак 10 в десятичной системе счисления, т.е. системе с нулем, многозначен. Он означает:
1.число (количество) единиц в разряде системы счисления:
2.отсутствие единиц в первом разряде и один полный второй разряд;
3.одиннадцатую (а не десятую) зарубку на сантиметровой линейке (что по принятой
нами терминологии означает ретроспективную систему счета).
Нас будет особенно интересовать сейчас то значение этого знака, которое мы выделили как второе. В соответствии с буквальным чтением этот знак гласит «нуль (отсутствие) единиц первого разряда». Между тем в действительности знак означает также и «последнюю, десятую единицу первого разряда». Но это значение в форме знака остается не выраженным. Иными словами, как мы уже сказали выше, это равносильно тому, что в системе с нулем «второе» значение знака 10 (или десятой «зарубки» по проспективной системе) остается невыраженным, «исчезает».
Это же положение дел можно выразить иначе; в десятичной системе с нулем первые девять единиц первого разряда обозначаются особыми, каждая своим, знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но десятая единица своего знака не имеет и обозначается как «первая единица второго разряда» − комбинированным знаком 10 (см. выше «внедрен их конец в их начало, <а их начало − в их конец>, подобно тому, как пламя связано с (пылающим) углем» – ВК).
Такой способ обозначения последней единицы каждого разряда существует во всех современных системах счисления. Процитируем в этой связи характерное рассуждение математика: − «…можно было бы с таким же успехом (как в десятичной системе) представить каждое число в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого числа (кроме 1), например, числа 7. В этой системе, называемой «семеричной системой счисления» или «системой счисления с основанием 7″ мы вели бы счет от 0 до 6 обычным образом, а число 7 приняли бы за единицу следующего разряда. Его естественно обозначить в нашей новой семеричной системе символом 10 (единица второго разряда)».
К этому рассуждению нужно сделать примечание. Для семиотических задач нужно различать количество чисел в разряде системы счисления и количество единиц в разряде. Ноль есть число, входящее в разряд, но это число обозначает отсутствие единиц. Таким образом, знак 0 тоже многозначен. Он обозначает: 1) первое число в системе счета; 2) первую «зарубку»; 3) отсутствие единиц в разряде.
Сосуществование второго и третьего значений в форме одного знака говорит, скорее всего, о том, что этот знак не мог возникнуть как абстракция примитивной «проспективной» системы счета, в которой «зарубка» есть одновременно и «единица» считаемых предметов. Если вернуться к иллюстрации с линейкой, то дело можно представить себе таким образом, что к «примитивной, архаичной» линейке, на которой первая зарубка обозначалась как число «1», был представлен слева еще один отрезок, первоначально никак не обозначенный, «затактовый», если воспользоваться сравнением со стихосложением.
Вполне ожидаемым следствием в области алфавитов будет то, что знак числа, служащего основанием системы счисления, будет означать и последнюю единицу первого разряда, и весь этот разряд как целое (ср. «десять» – «десяток»), и первую единицу следующего, второго разряда. Речь идет при этом о системах, не знающих нуля, или, что то же самое, о системах счета длин по первым «зарубкам» каждого отрезка, – о проспективных системах.
Его центральным пунктом является общая семиотическая закономерность – два способа обозначить при счете высший разряд, когда закончен низший, предыдущий. Мы уже цитировали мнение математика на примере семеричной системы: просчитав от 0 до 6, т.е. закончив первый разряд, «естественно обозначить число 7 как единицу второго разряда, т.е. символом 10», который означает отсутствие единиц в первом разряде (т.е. «нуль» единиц) и наличие одного целого, а именно второго, разряда (один второй разряд − 1). В самом деле − и к этому рассуждению присоединится любой лингвист и семиотик − естественно обозначить число, соответствующее переходу в новый разряд, каким-либо новым символом, отличным от предыдущих. (Это, в частности, сделано в семитском и греческом алфавитах путем использования особых букв для чисел «7», «10», «20», благодаря чему эти алфавиты можно применять к любой системе счисления, хотя обычно они применялись только к десятичной системе). Но вовсе не представляется заведомо естественным обозначить седьмую единицу счета − в приведенном примере − составным символом (т.е. так, как это сделано в современном алфавите математики, где для этой цели использован символ 10).
Указанное различие двух способов обозначения − простым или составным символом − можно обобщить в такой формулировке: в современном алфавите математики (арифметики) в любой системе счисления число, служащее основанием счисления, не имеет собственного (простого) символа и обозначается составным символом − комбинацией 0 и 1, т.е. символом 10. Это обстоятельство очевидным образом связано с наличием нуля в алфавите арифметики.
С семиотической точки зрения, эта особенность является абстрактным отражением конкретного свойства – «ретроспективного» способа счета. При таком способе счета каждая «точка счета» (на линейке «зарубка»), начиная со второй, из двух своих «значений»: 1) «конец предыдущего отрезка или разряда»; 2) «начало следующего отрезка или разряда» − имеет только второе значение, означая начало следующего отрезка или разряда. Первое значение каждой «точки счета» («зарубки») в этой системе не выражается, специальным символом не фиксируется и является лишь сопутствующим значением («коннотацией») второго значения.