Петр Демьянович Успенский

Tertium organum (Часть 2)

??. Эта величина, несомненно, в бесконечное число раз больше простой

бесконечности ?. И в то же время они равны. Вот это и есть самое

замечательное в трансфинитных числах. Вы можете производить с ними какие

угодно действия, они будут соответствующим образом изменяться, оставаясь в

то же время равными ?? = ?. Это нарушает основные законы математики,

принятые для конечных, финитных, чисел. Изменившись, конечное число уже не

может быть равно самому себе. А здесь мы видим, как, изменяясь,

трансфинитное число остается равным самому себе.

* * *

При этом трансфинитные числа совершенно реальны. Выражением ?? и далее

? = ??? мы можем найти соответствующие примеры в реальном мире.

Возьмем линию, любой отрезок линии. Мы знаем, что число точек в этой

линии равно бесконечности, потому что точка измерения не имеет. Если наш

отрезок равен вершку и рядом с ним мы представим себе отрезок в версту, то

каждой точке в большом отрезке будет соответствовать точка в малом. Число

точек в отрезке, равном вершку, бесконечно. Число точек в версте тоже

бесконечно. Получается ? = ?.

Представим теперь себе квадрат, сторону которого составляет данная

линия а. Число линий в квадрате бесконечно. Число точке в каждой линии

бесконечно. Следовательно, число точек в квадрате равно бесконечности,

помноженной сама на себя бесконечное число раз ??. Эта величина, несомненно,

бесконечно больше первой ?. И в то же время они равны, как равны все

бесконечные величины, потому что если есть бесконечность, то она одна и не

может меняться.

На полученном квадрате а2 представим себе куб. Этот куб состоит из

бесконечного числа квадратов, так же как квадрат состоит из бесконечного

числа линий, а линия -- из бесконечного числа точек.

Следовательно, число точек в кубе равно ???, это выражение равно

выражению ?? и ?, то есть это значит, что бесконечность продолжает

возрастать, в то же время оставаясь неизменной.

* * *

Таким образом, в трансфинитных числах мы видим, что две величины,

равные порознь третьей, могут быть не равны между собою. Вообще мы видим,

что основные аксиомы математики здесь не действуют, не применимы сюда. И мы

с полным правом устанавливаем закон, что основные аксиомы математики,

указанные выше, применимы и действительны только для конечных чисел.

Кроме этого, мы можем сказать, что эти аксиомы действительны только для

постоянных величин. Или, говоря иначе, они требуют единства времени и

действующих лиц. Именно: всякая величина равна самой себе в данный момент.

Но если вы возьмете величину, которая меняется, и возьмете в разные моменты,

то она не будет равна самой себе. Конечно, молено сказать, что, меняясь, она

становится другой величиной, что она есть данная величина, только пока не

изменится. Но это как раз и есть то, что я говорю.

Аксиомы нашей обычной математики применимы только к конечным и

постоянным величинам.

И как раз обратно обычному взгляду, мы должны признать, что математика

конечных и постоянных величин нереальна, а математика бесконечных и текучих

величин реальна.

В самом деле, самая большая величина первой математики не имеет

никакого измерения, равна нулю или точке в сравнении с любой величиной

второй математики, все величины которой при всем из разнообразии равны между

собой.

Таким образом, и здесь, как в логике, аксиомы новой математики являются

в виде абсурдов.

Величина может быть неравна самой себе.

Часть может быть равна целому или больше его.

Из двух равных величин одна может быть бесконечно больше другой.

Между аксиомами математики и логики наблюдается полная аналогия.

Логическая единица -- понятие -- обладает всеми свойствами конечной и

постоянной величины. Основные аксиомы математики и логики в сущности одни и

те же. И они правильны при одинаковых условиях и при одинаковых условиях

перестают быть правильными.

Без всякого преувеличения мы можем сказать, что основные аксиомы логики

и математики правильны только до тех пор, пока математика и логика оперируют

с искусственными, условными, не существующими в природе единицами.

Дело в том, что в природе нет конечных, постоянных величин, точно так

же как нет понятий. Конечная, постоянная величина и понятие -- это условные